OPĆI ZAKON GRAVITACIJE - VIII
Sistemska Greška Određivanja Gravitacijske Konstante
Pasco Cavendish Metodom - drugi nastavak
Treća sistemska greška određivanja G-ubrzanja navedenom metodom potječe radi konačnih dimenzija male kugle. Do sada se numeričko integriranje izvodilo uz pretpostavku da je mala kugla materijalna točka zanemarivih dimenzija prema ostalim udaljenostima. X. Y i Z osi su podijeljene na n-koraka, što je davalo n^3 malih komadića velike mase i iterativno se računao utjecaj tih komadića na jednu točku male kugle. Ako je recimo n = 100, to je davalo n^3 = 1000000 iteracija. Ustvari upola manje, jer kugla promjera 10 ima približno pola obujma od kocke stranice 10. To je zanemariva razlika za trajanje izvođenja programa jer se treba utvrditi i da li je neka točka unutar ili van kugle.
Kako je promjer male kugle oko 23 posto udaljenosti između kugli, strogo znanstveno se ne smije zanemariti! E sada, ako se mala kugla posmatra na isti način i npr. podijeli na barem 100x100x100 komadića, tada 500000 puta treba obaviti interaciju i sa svakim od tih 500000 komadića male kugle. To u praksi znači i približno 500000 puta duže trajanje izvođenja programa. Za ovu analizu to iz navedenih praktičnih razloga nije ni rađeno, odstupanje bi bilo dodatnih nekoliko postotaka.
Kako je promjer male kugle oko 23 posto udaljenosti između kugli, strogo znanstveno se ne smije zanemariti! E sada, ako se mala kugla posmatra na isti način i npr. podijeli na barem 100x100x100 komadića, tada 500000 puta treba obaviti interaciju i sa svakim od tih 500000 komadića male kugle. To u praksi znači i približno 500000 puta duže trajanje izvođenja programa. Za ovu analizu to iz navedenih praktičnih razloga nije ni rađeno, odstupanje bi bilo dodatnih nekoliko postotaka.
Neposredno Određivanje Gravitacijske Konstante
Cavendish je u svom eksperimentu išao određivati masu Zemlje. Kako je do sada objašnjeno, pri tome je imao barem tri pogrešeke: Različite homogenosti kugle i Zemlje, različite gradijente gravitacije u blizini velikih masa i zanemarenje dimenzija male kugle. Kako nam gradijent gustoće Zemlje nije poznat, najmanju grešku ćemo imati ako G-konstantu računamo neposredno iz krivulje za homogenu masu.
Prvi korak je određivanje g-ubrzanja velike kugle na mjestu male kugle na osnovi izmjerene sile od 1,74E-7 N i mase male kugle od 0,74 kg. G-ubrzanje je 1,74E-7/0,74 = 2,35E-7. Zatim to svodimo na etalonsku masu etalonske krivulje s prethodne stranice: 2,35E-7 *4,3328E24/160 = 6,36E15 m/s^2 jer je masa velike kugle koja stvara gravitaciju 160 kg na 230 mm. Zatim to trebamo svesti na realnu udaljenost 1,5*6371 km: 6,36E15*0,23^2/(1,5*6,371)^2 = 3,7 m/s^2.
Kako bi na dalje mogli računati s umnoškom G-konstante i mase, to treba reducirati na Newtonovu krivulju sa slike na prethodnoj stranici. Za homogenu masu na 1,5 udaljenosi od središta imamo g=0,59, a po Newtonu bi bilo samo 0,44. Prema tome, 3,7*0,44/0,59 = 2,64 m/s^2.
Masa Zemlje na etalonskoj krivulji je samo pretpostavka te na dalje možemo računati samo GM-umnožak prema izrazu GM = g*r^2. To daje 2,64*(1,5*6,371E6)^2 = 2,41E14. I ovdje smo zapeli, imamo jednu vrijednost koja je umnožak dvije nepoznate varijable: G-konstanta i masa Zemlje! Rezultat je prikazan na slici ispod:
Prvi korak je određivanje g-ubrzanja velike kugle na mjestu male kugle na osnovi izmjerene sile od 1,74E-7 N i mase male kugle od 0,74 kg. G-ubrzanje je 1,74E-7/0,74 = 2,35E-7. Zatim to svodimo na etalonsku masu etalonske krivulje s prethodne stranice: 2,35E-7 *4,3328E24/160 = 6,36E15 m/s^2 jer je masa velike kugle koja stvara gravitaciju 160 kg na 230 mm. Zatim to trebamo svesti na realnu udaljenost 1,5*6371 km: 6,36E15*0,23^2/(1,5*6,371)^2 = 3,7 m/s^2.
Kako bi na dalje mogli računati s umnoškom G-konstante i mase, to treba reducirati na Newtonovu krivulju sa slike na prethodnoj stranici. Za homogenu masu na 1,5 udaljenosi od središta imamo g=0,59, a po Newtonu bi bilo samo 0,44. Prema tome, 3,7*0,44/0,59 = 2,64 m/s^2.
Masa Zemlje na etalonskoj krivulji je samo pretpostavka te na dalje možemo računati samo GM-umnožak prema izrazu GM = g*r^2. To daje 2,64*(1,5*6,371E6)^2 = 2,41E14. I ovdje smo zapeli, imamo jednu vrijednost koja je umnožak dvije nepoznate varijable: G-konstanta i masa Zemlje! Rezultat je prikazan na slici ispod:
Dijagram prikazuje ovisnost G-konstante o masi Zemlje uz konstantni umnožak GM. Plava krivulja je za usvojeni GM produkt uz masu Zemlje od 5.98E24 kg i G-konstantu od 6,6741 ( točka A). Kako je to dobiveno uz sve navedene sistemske greške, stvarni umnožak bi bio oko 2,41E14 ( crna krivulja). Realno bi bilo negdje na crnoj krivulji između točaka A i B. Greška je 100*(3,99-2,41)/2,41 = 65 posto! Ovaj rezultat se razlikuje za oko 15 posto od rezultata navedenog u prvoj točki Zaključka br. 2 sa stranice označene rimskim brojem V (točka D).
Kako je već navedeno, iako imamo određenu G-konstantu s dvije neodređene varijable, do daljnjega nam može poslužiti za određivanje npr. prosječene udaljenosti Mjeseca od središta Zemlje. Mjesec je dovoljno daleko od Zemlje, te se u prvoj aproksimaciji može koristiti Newtonov Zakon gravitacije. Vrijeme ophodnje Mjeseca oko Zemlje je točno utvrđeno i pouzdano. Prema izrazu orbitalne mehanike za trajanje ophodnje satelita: p^2 = 4*PI^2*R^3/GM dobivamo za prosječnu udaljenost Mjeseca, tj.
prosječni polumjer putanje Mjeseca od 324000 km!
Ovaj rezultat se razlikuje od treće točke Zaključka br.2 na jednoj od prethodnih stranica samo za 100*(324-308)/308 = 5,2 posto. Da se podsjetimo, do 308000 km se došlo samo na osnovu g-ubrzanja na površini Zemlje, geofizičkog podatka o gustoći u središtu Zemlje i uz pretpostavku linearnog gradijenta gustoće, potpuno neovisno o rezultatima Cavendishevog eksperimenta!
Kako je već navedeno, iako imamo određenu G-konstantu s dvije neodređene varijable, do daljnjega nam može poslužiti za određivanje npr. prosječene udaljenosti Mjeseca od središta Zemlje. Mjesec je dovoljno daleko od Zemlje, te se u prvoj aproksimaciji može koristiti Newtonov Zakon gravitacije. Vrijeme ophodnje Mjeseca oko Zemlje je točno utvrđeno i pouzdano. Prema izrazu orbitalne mehanike za trajanje ophodnje satelita: p^2 = 4*PI^2*R^3/GM dobivamo za prosječnu udaljenost Mjeseca, tj.
prosječni polumjer putanje Mjeseca od 324000 km!
Ovaj rezultat se razlikuje od treće točke Zaključka br.2 na jednoj od prethodnih stranica samo za 100*(324-308)/308 = 5,2 posto. Da se podsjetimo, do 308000 km se došlo samo na osnovu g-ubrzanja na površini Zemlje, geofizičkog podatka o gustoći u središtu Zemlje i uz pretpostavku linearnog gradijenta gustoće, potpuno neovisno o rezultatima Cavendishevog eksperimenta!
Stranica Postavljena: 30.01.2017.
Dopuna stranice 30.01.2017. ( Dodan dio za Mjesec)
e-mail: [email protected]
Dopuna stranice 30.01.2017. ( Dodan dio za Mjesec)
e-mail: [email protected]